Schwarz Lemma and Automorphism on the open disk

\(\mathbb{C}\)의 open unit disk \(\mathbb{D}\)에 대해, holomorphic function \(f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}\)를 생각하자. Schwarz Lemma는 이러한 \(f\)의 성질에 대한 Lemma이고, 이는 \(\mathbb{D}\)의 Automorphism group을 characterize하는 데 큰 도움을 준다.

October 23, 2020 (Read More...)

Non-Existence of $C^{1}$ space-filling curves

Space-filling curve는 일반적으로 $I := [0,1]$에서 $I \times I$로 가는 continuous onto function을 말한다. Hilbert’s curve, Sierpinski’s curve 등 여러 가지가 알려져 있다. 이런 curve들의 특징은 uniformly converge하는 연속함수열의 극한으로 정의된다는 점인데, 그렇지 않고는 Space Filling Curve를 만들기 굉장히 어렵기 때문이다. 이 포스팅에서는 $C^{1}$ class의 space-filling curve가 존재하지 않음을 보인다.

August 27, 2020 (Read More...)

200811 Problem solving

Created: Aug 17, 2020 8:43 AM

rkm0959, jhhope1이랑 진행한 문제풀이의 간략한 풀이. 스포일러에 주의하자.

August 11, 2020 (Read More...)

KAIST POW 2020-09 "Displacement of Permutations"

Permutation $\pi : [n] \to [n]$에 대해 Displacement를 \(D(\pi) = \sum_{i=1}^{n} \lvert i - \pi (i) \rvert\)로 정의한다. 주어진 양수 \(k\)에 대해, \(D(\pi) = 2k\)를 만족하는 짝순열의 개수를 \(E_{k}\), 홀순열의 개수를 \(O_{k}\)라 두면 \(E_{k} - O_{k} = (-1)^{k}\binom{n-1}{k}\)임을 보여라.

June 5, 2020 (Read More...)

Sketching Arzela-Ascoli theorem

Arzela-Ascoli theorem을 따로 알아야 할 상황이 생겨서, 해석개론에서 약간의 지름길을 타서 이 정리를 건드려보기로 했다.

Compactness에 대한 통찰을 요구한다.

Ref: 김성기, 김도한, 계승혁 - 해석개론

April 20, 2020 (Read More...)

Sprague-Grundy Theorem (1) - Grundy Number의 정의, theorem 증명

\[\newcommand{\mex}{\text{mex}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}_{0}}\]

Grundy Number는 PS에서 굉장히 자주 쓰이는 데 비해 그 증명이나 수학적 배경이 잘 알려져 있지 않다. 앞으로 일련의 포스팅에서는 Sprague-Grundy Theorem에 대해 공부한 것을 PS 스타일로 정리하려 한다. 그 중에서 이 글은 Grundy Number의 정의와 Sprague-Grundy theorem의 증명에 대해 다룬다.

March 7, 2020 (Read More...)

Dimension of Vector space sum

\[\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}\]

Vector space \(W\)의 subspace \(U,V\)에 대해 다음의 결과는 잘 알려져 있다. \(\dim (U + V) = \dim U + \dim V - \dim (U \cap V)\) 오늘은 이 결과를 증명하고, 이 정리의 확장과 관련된 유명한 반례를 소개한다.

March 5, 2020 (Read More...)

SEEMOUS 2019

SEEMOUS 2019를 풀어보았다. 몇몇 문제는 풀이를 검증하기 위한 배경 지식이 부족해서 나중에 자세히 다루기로 한다.

March 3, 2020 (Read More...)

ARC069 F. Flags

수직선상에 깃발 \(N\)개를 놓되, \(i\)번째 깃발은 \(x_i\) 또는 \(y_i\)에 놓아야 한다. 이 때 깃발들 사이의 최소 거리의 최댓값을 구하는 문제이다. 문제 링크

January 8, 2020 (Read More...)

Cayley’s theorem in combinatorics

조합론에서의 Cayley’s theorem은 완전그래프 \(K_{n}\)의 서로 다른 spanning tree가 \(n^{n-2}\)개라는 정리이다. 일반적으로는 그 쓰임보다도 아름다운 증명에 가치를 둔다. Functional graph를 알고 있다는 전제 하에 글을 작성했다.

December 11, 2019 (Read More...)