Riemann Mapping Theorem

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Riemann Mapping은 \(\mathbb{C}\)의 모든 simply connected proper subset \(\Omega\)에 대해, Conformal map \(f : \mathbb{D} \to \Omega\)가 존재한다는 매우 강력한 정리이다. 여기서는 짧고 아름다운 nonconstructive한 증명을 다룬다.

Ref: Stein & Shakarchi, Complex Analysis Ch.8

\(\newcommand{\mb}{\mathbb}\) \(\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}\) \(\newcommand{\mr}{\mathrm}\) \(\newcommand{\mbf}{\mathbf}\) \(\newcommand{\mc}{\mathcal}\) \(\newcommand{\ev}[1]{\left< #1 \right>}\)

Montel’s theorem

어떤 함수열 \(\ev{f_n}\)이 수렴하는 부분수열 \(\ev{f_{n(k)}}\)를 갖는다는 사실은 매우 유용하다. 물론 여기서 수렴은 모든 cpt subset에 대한 uniform convergence를 의미한다.

Arzela-Ascoli Theorem의 경우, 정의역이 cpt set인 연속함수들의 함수족 \(\mc{F}\)가 uniformly bdd, equicontinuous면 위 성질을 만족한다는 것을 보장하고 있다. 하지만 이렇게 조건이 까다로우면 복소해석 하는 맛이 안 난다.

Theorem (Montel). \(\mb{C}\)의 open subset \(\Omega\)에 대해, \(\mc{F} \subseteq \mc{H}(\Omega)\) 가 \(\Omega\)의 모든 cpt subset에 대해 uniformly bounded라면 \(\mc{F}\)는 equicontinuous이고, 수렴하는 부분수열을 갖는다. (단, 함수열의 수렴값이 여전히 \(\mc{F}\)의 원소임은 보장되지 않는다)

증명은 Arzela-Ascoli랑 비슷하고 그래서 좀 길다. 생략.

Lemma를 하나 더 소개한다.

Lemma 1. \(\mb{C}\)의 connected open subset \(\Omega\)에 대해, \(\Omega\)의 injective하고 holomorphic한 함수열 \(\ev{f_n}\)이 \(\Omega\)의 모든 cpt subset에 대해 \(f \in \mc{H}(\Omega)\)로 uniformly converge한다고 하자. 이 때, \(f\)는 injective이거나 constant이다.

Proof. \(f\)가 nonconstant, noninjective라고 하자. 그렇다면 \(z \neq w \in \Omega\)가 존재하여 \(f(z) = f(w)\)이다. 이제 \(g_{n}(z) = f_{n}(z) - f_{n}(w)\), \(g(z) = f(z) - f(w)\)라고 하자. \(g_{n}\)은 여전히 injective holomorphic이다.

\(w\)는 \(g\)의 zero가 되는데, \(g\)가 nonconstant니까 isolated zero이다. 따라서 \(w\)를 원점으로 하는 작은 원 \(C\)를 잡아서 \(\frac{1}{2\pi i}\int_{C} \frac{g'(z)}{g(z)} = 1\)이 되도록 할 수 있다. 그런데 \(C\) 위에서 \(g_{n} \rightrightarrows g, g_{n}' \rightrightarrows g'\)이므로 \(\frac{g_{n}’}{g_{n}} \rightrightarrows \frac{g’}{g}\)이다. 그런데 \(g_{n}\)은 injective라서 \(\frac{1}{2\pi i}\int_{C} \frac{g_{n}’(z)}{g_{n}(z)} = 0\)이고, 모순. \(\blacksquare\)

Riemann Mapping Theorem

Conformal map은 holomorphic bijection을 의미한다. Dirichlet problem같은 미분방정식을 풀 때 conformal map의 존재성은 매우 중요하다; 어떤 conformal map \(f : \Omega \to \mb{D}\)가 경계에서 continuous bijection으로 extend까지 되는 경우, 잘 알려진 해를 갖는 disk에서의 dirichlet problem을 그대로 \(\Omega\)에 이식할 수 있다. 따라서 아무렇게나 \(\Omega\)가 주어졌을 때 Conformal map \(f : \Omega \to \mb{D}\)가 존재하는지는 중요한 문제가 된다.

후자의 조건인 continuous bijection extension의 경우 \(\Omega\)가 polygon인 경우 가능하다는 것이 잘 알려져 있으며 \(\partial \Omega\)가 smooth closed curve 또는 continuous curve의 경우에도 확장이 가능하다고 하..지만 일단 이건 어려우니까, 지금은 생각하지 않는다. 일단은 conformal map의 존재성을 보자.

우선 \(\Omega = \mb{C}\)인 경우에는 불가능하다. \(f(\mb{C}) \subseteq \mb{D}\)라는 사실 자체가 \(f\)가 bounded entire function이라는 것을 함의하므로 Liouville theorem에 막힌다. 따라서 \(\Omega\)는 최소한 \(\mb{C}\)의 proper open subset이다.

또한, \(f\)는 당연히 연속함수이므로 disk의 simply connectivity를 보존해야 한다. 즉, 임의의 두 경로 사이에 homotopy가 존재하는, simply connected domain이어야 한다.

아직까지 나온게 연속성 argument밖에 없는데, 여기서 벌써 정리가 나오기 때문에 복소해석학이 사기 학문이다.

Theorem (Riemann). \(\mb{C}\)의 proper open simply connected subset \(\Omega\)와 고정된 한 점 \(z_0 \in \Omega\)에 대해, \(F(z_0) = 0, F’(z_0) > 0\)을 만족하는 conformal map \(F\)가 유일하게 존재한다.

유일성의 경우 Schwarz lemma를 생각하면 그리 중요한 부분이 아니다. 따라서 conformal map의 존재성만 보이기로 하자.

  1. 먼저 \(\Omega\)를 적당한 \(\mb{D}\)의 원점을 포함하는 부분집합으로 보내는 conformal map을 하나 만들자. 즉, 원점을 포함하는 disk의 subset인 경우만 생각할 것이다. \(\Omega\)가 simply connected이므로 \(\log\)를 정의하는 생각을 자연스레 해볼 수 있다. \(\Omega\)가 proper subset임에 주목하여 \(a \notin \Omega\)를 잡고, \(h(z) = \log(z - a)\)로 정의하자. 그렇다면 \(h\)는 holomorphic이고, \(e^{h(z)} = z - a\)이므로 injective이다. 또한 임의의 \(z \neq w\)에 대해 \(h(z) \neq h(w) + 2\pi i\)가 성립해야 하며, exponential function이 연속이므로 \(h(z_{n}) \to h(w) + 2\pi i\)인 수열 \(z_n \in \Omega\)조차 잡을 수 없다. (\(h(z_{n}) \to h(w) + 2\pi i \implies a + e^{h(z_n)} = z_{n} \to w\)) 따라서 어떤 \(w \in \Omega\)에 대해 \(H(z) = \frac{1}{h(z) - h(w) - 2\pi i}\)는 bounded, injective (\(h\)가 injective이므로), holomorphic function이다. 따라서 \(H : \Omega \to H(\Omega)\)는 conformal map이고, 적당한 linear transformation을 끼얹어서 \(H\)를 수정하면 \(H(\Omega)\)가 disk의 subset이고 원점을 포함하게 할 수 있다.
  2. 이제 \(\Omega\)가 원점을 포함하는 \(\mb{D}\)의 open subset이라고 가정해도 좋다. 이제, \(f(0) = 0\)을 만족하는 모든 injective holomorphic map \(f : \Omega \to \mb{D}\)의 class를 \(\mc{F}\)라고 두면 자연히 \(\mc{F}\)는 uniformly bounded이다. 더하여, \(z = 0\) 근처에서 Cauchy integral formula를 생각하면 \(\abs{f’(0)}\)이라는 양 또한 \(f \in \mc{F}\)에 대해 uniformly bounded이다. 따라서 Montel’s theorem에 의해, 모든 \(\mc{F}\)의 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
  3. \(s = \sup_{f \in \mc{F}} \abs{f’(0)} < \infty\)를 생각하고, \(\abs{f_{n}'(0)}\)이 \(s\)로 수렴하는 수열 \(\ev{f_n}\)을 잡으면, 수렴하는 부분수열 \(\ev{f_{n(k)}}\) 가 존재한다. 이 함수열은 모든 \(\Omega\)의 cpt subset에 대해 \(f \in \mc{H}(\Omega)\)로 수렴하는데, \(f\)는 \(\abs{f’(0)} = s > 1\) (\(id_{\Omega} \in \mc{F}\))이므로 nonconstant이다. 따라서 Lemma 1에 의해서 \(f\)는 injective holomorphic이고, \(f(0) = 0\)이다. 마지막으로 \(f : \Omega \in \overline{\mb{D}}\)이므로 \(\abs{f(z)} \le 1\)인데, \(f\)가 nonconstant이므로 maximum modulus principle에 의해 \(\abs{f(z)} < 1\)이다. 따라서 \(f \in \mc{F}\)임또한 알 수 있다.
  4. 이제 이 \(f\)가 정말로 conformal map임을 보이자. \(f\)가 surjection임만 보이면 충분하다. 귀류법으로 \(f\)가 surjection이 아니라고 하고, \(\alpha \in \mb{D} \setminus f(\Omega)\)라고 두자. 이제 Blaschke factor \(\psi_{\alpha}\)를 합성하면, \((\psi_{\alpha} \circ f) (U)\)는 원점을 포함하지 않는 simply connected set이다. 따라서 square root function \(g(w) = e^{\frac{1}{2}\log w}\)가 injective holomorphic function이 된다. 이제 \(F = \psi_{g(\alpha)} \circ g \circ \psi_{\alpha} \circ f\)라고 두면 \(F : \Omega \to \mb{D}\)가 되고, \(F\) 또한 injective holomorphic이므로 \(F \in \mc{F}\)이다. 당연히 \(F(0) = 0\)이다.
  5. 한편, \(f = \psi_{\alpha} \circ (z \mapsto z^{2}) \circ \psi_{\alpha} \circ F = \Phi \circ F\)를 생각하자. 이 때, \(\Phi\)의 구성요소들로부터 \(\Phi : \mb{D} \to \mb{D}\)로써 생각한다. (\(F\)의 surjectivity를 가정하지 않았음에 유의하자) \((z \mapsto z^{2})\)가 \(\mb{D}\)에서 noninjective이므로, Schwarz lemma를 생각하면 \(\abs{\Phi’(0)} < 1\)이다. (\(\abs{\Phi’(0)} \le 1\)의 등호조건은 \(\Phi\)가 rotation인 것) 따라서 \(s = \abs{f’(0)} = \abs{\Phi’(0)} \abs{F’(0)} < \abs{F’(0)}\)이고, \(F \in \mc{F}\)임을 생각하면 모순.

따라서 \(f\)가 holomorphic bijection임을 확인할 수 있다. Schwarz Lemma의 중요성을 다시 눈여겨볼 수 있다. \(\blacksquare\)

Written on December 11, 2020