SEEMOUS 2019

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SEEMOUS 2019를 풀어보았다. 몇몇 문제는 풀이를 검증하기 위한 배경 지식이 부족해서 나중에 자세히 다루기로 한다.

P1

\([0,1]\)의 값을 갖는 무한 실수열 \(\{x_{n}\}\)이 다음 조건을 만족하면 \(\{x_{n}\}\)을 Devin sequence라고 한다.

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) = \int_{0}^{1} f(x)dx\]

이 때, \(\{x_{n}\}\)이 Devin sequence가 될 필요충분조건은

\[\forall k \ge 0 \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k} = \frac{1}{k+1}\]

인 것임을 보여라.

Solution sketch

\(\implies\)는 자명.

\(\impliedby\)는 Weierstrass.

P2

\(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})\)에 대하여 다음을 만족하는 \(\{\varepsilon_{i}\} \in \{-1,1\}^{m}\)이 존재함을 보여라.

\[\text{tr}\left[ \left(\sum_{i=1}^{n} \varepsilon_{i}A_{i}\right)^{2} \right] \ge \text{tr}[A_{1}^{2}] + \cdots + \text{tr}[A_{m}^{2}]\]

Solution

가능한 모든 \(\varepsilon_{i}\)값에 대해서 좌변을 모두 더하면 \(2^{n}\left( \text{tr}(A_{1}^{2}) + \cdots +\text{tr}(A_{n}^{2}) \right)\)가 되는 것을 확인할 수 있다. 당연히 평균 이상인 값이 존재하므로 OK. \(\square\)

P3

\(A, B \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{C})\)에 대해 \(B^{2} = B\)가 성립한다. 이 때 \(\text{rank}(AB-BA) \le \text{rank}(AB + BA)\)가 성립함을 보여라.

Solution

\(\ker (B) = V\), \(\ker(I-B) = W\)라고 하면 \(F^{n} = V \oplus W\)가 성립한다. 따라서 \(A = P + Q\) (\(P \in \mathcal{L}(F^{n},V)\), \(Q \in \mathcal{L}(F^{n},W)\) 꼴로 나타내자. 즉, \(BP = 0, BQ = Q\)가 된다.

이 때 임의의 \(x \in F^{n}\)은 \(x = v + w\) (\(v \in V, w \in W\))로 나타낼 수 있으므로

\[(AB-BA)(v+w) = Aw-Q(v+w) = Pw - Qv\]

위 식에 의해 \(\text{im}(AB-BA) = P(W) \oplus Q(V)\)가 된다. 마찬가지로 \(\text{im}(AB + BA)= (P+2Q)(W) \oplus Q(V)\)가 된다. rank를 비교하기 위해서는 두 space의 dimension을 비교하면 된다.

\(P(\mathcal{W})\)가 \(P(W)\)의 기저가 되는 \(\mathcal{W} = \{w_{1},\cdots,w_{l}\} \subset W\), 마찬가지로 \(Q(\mathcal{V})\)가 \(Q(V)\)의 기저가 되는 \(\mathcal{V}=\{v_{1},\cdots,v_{m}\} \subset V\)가 존재한다. 이 때, \(\{(P+2Q)(w_{1}), \cdots, (P+2Q)(w_{l}), Q(v_{1}), \cdots, Q(v_{m})\}\)이 linearly independent임을 보이자. 만약 실수 \(c_{1}, \cdots, c_{l}, d_{1}, \cdots, d_{m}\)에 대해

\(\sum_{i=1}^{l} c_{i}(P+2Q)(w_{i}) + \sum_{i=1}^{m}d_{i}Q(v_{i})=0\)이라고 하자. 양변에 \(I-B\)를 곱하면 \(\sum_{i=1}^{l}c_{i}P(w_{i}) = 0\)에서 \(c_{i} = 0\)이다. 따라서 \(\sum_{i=1}^{m} d_{i}Q(v_{i}) = 0\)의 양변에 \(B\)를 곱하면 \(d_{i}=0\)이 유도되어 증명 끝. \(\square\)

P4

(a) \(n \ge 1\)에 대해 \(\int_{0}^{1} x^{n-1}\ln x dx\)를 계산하라.

(b) 다음의 값을 계산하라.

\[\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)^{2}}\]

Solution sketch

(a)의 답은 \(-\frac{1}{n^2}\).

(b)는 몇 가지 검증되지 않은 과정을 거치면 \(\ln 2\)라는 답을 얻을 수 있다.

Written on March 3, 2020