Schwarz Lemma and Automorphism on the open disk

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\(\mathbb{C}\)의 open unit disk \(\mathbb{D}\)에 대해, holomorphic function \(f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}\)를 생각하자. Schwarz Lemma는 이러한 \(f\)의 성질에 대한 Lemma이고, 이는 \(\mathbb{D}\)의 Automorphism group을 characterize하는 데 큰 도움을 준다.

\(\newcommand{\mb}{\mathbb}\) \(\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}\) \(\newcommand{\mr}{\mathrm}\) \(\newcommand{\mbf}{\mathbf}\) \(\newcommand{\ev}[1]{\left< #1 \right>}\)

Lemma (Schwarz)

\(f : \mb{D} \to \mb{D}\)가 holomorphic이고, \(f(0) = 0\)을 만족한다고 하자. 다음 세 성질이 성립한다.

  1. \(\abs{f(z)} \le \abs{z}\).
  2. 만약 \(z_0 \neq 0\)에 대해 \(\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}\)가 성립한다면, \(f\)는 rotation.
  3. \(\abs{f’(0)} \le 1\). 등호가 성립한다면 \(f\)는 rotation.

증명은 기초 복소해석을 공부했다면 크게 어렵지는 않다.

Proof.

\(f(0) = 0\)이므로, \(g(z) := f(z) / z\)가 역시 \(\mb{D}\)에서 holomorphic이다. 이 때 임의의 \(r < 1\)에 대해, 반지름 \(r\)짜리 circle \(C_{r}(0) = \partial D_{r}(0)\)를 생각하면 \(\sup_{z \in C_{r}(0)} \abs{g(z)} = \frac{1}{r}\sup_{z \in C_{r}(0)} \abs{f(z)} \le \frac{1}{r}\) 이 성립한다. 이 때 \(g\)가 holomorphic이므로 Maximum Modulus Principle에 의해 \(\sup_{z \in D_{r}(0)} \abs{g(z)} \le \frac{1}{r}\)이고, \(r \to 1^{+}\)의 극한에서 \(\abs{g(z)} \le 1\implies \abs{f(z)} \le \abs{z}\)를 얻는다.

만약 \(\abs{g(z_0)} = 1\)을 만족하는 \(z_0 \neq 0\)이 있다면 역시 Maximum Modulus principle에 의해 \(g\)는 constant function이어야 한다. \(g(z) = g(z_0) = e^{i\theta}\)라고 두면, \(f(z) = e^{i\theta}z\)는 rotation이 된다.

\(g(0) = f’(0)\)임에 주목하자. 마찬가지로 \(\abs{g(0)} \le 1\)이어야 하고, \(\abs{g(0)} = 1\)이라면 역시 \(f\)는 rotation이 된다. 증명 끝.

Applications of Schwarz Lemma

Definition. \(\mb{C}\)의 open set \(U, V\)에 대해, \(f : U \to V\)가 holomorphic이고 bijection이면 \(f\)를 conformal map이라고 한다. 특별히 \(U = V\)인 경우 \(f\)를 \(U\)의 automorphism이라고 한다.

위 정의에서 \(f^{-1} : V \to U\)가 holomorphic임은 보일 수 있다.

Proposition. \(U\)의 모든 automorphism을 모은 집합을 \(\mr{Aut}(U)\)라고 하면, \((\mr{Aut}(U), \circ)\)는 군을 이룬다.

Theorem. \(f \in \mr{Aut}(\mb{D})\)에 대해 \(f(0) = 0\)이라면 \(f\)는 rotation이다.

Proof. \(f\)에 대해 Schwarz lemma를 적용하면, \(\abs{f(z)} \le \abs{z}\)가 성립한다. 반면 \(f^{-1}\)에 대해 Schwarz lemma를 적용하면, \(\abs{z} = \abs{f^{-1}(f(z))} \le \abs{f(z)}\)가 성립하여 \(\abs{f(z)} = \abs{z}\)가 되고, \(f\)는 rotation이어야 한다.

이제 이 사실에 기반하여 \(\mr{Aut}(\mb{D})\)를 Characterize하자. 그 전에 다음과 같은 도구를 소개한다.

Definition. (Blaschke factor) \(\alpha \in \mb{D}\)에 대해, \(\psi_{\alpha} : \mb{D} \to \mb{D}\)는 \(\mr{Aut}(\mb{D})\)의 원소이며, \(\psi_{\alpha}(0) = \alpha, \psi_{\alpha}(\alpha) = 0\)이다. 그 식은 아래와 같고, 모든 성질을 아래 식으로부터 유도가능하다. \(\psi_{\alpha}(z) = \frac{\alpha - z}{1 - \overline{\alpha}z}\) 또 하나 주목할 만한 성질로, \(\psi_{\alpha} \circ \psi_{\alpha} = \mr{id}_{\mb{D}}\)가 성립한다. 이것도 계산해보면 된다.

Theorem. 모든 \(\mr{Aut}(\mb{D})\)의 원소는 \(\psi_{\alpha}\)와 rotation의 합성으로 표현할 수 있다.

\(f \in \mr{Aut}(\mb{D})\)를 생각하자. \(g = \psi_{f(0)} \circ f\)는 \(g(0) = 0\)을 만족하는 Automorphism이므로 rotation이고, 양쪽에 \(\psi_{f(0)}\)를 합성하면 증명 끝.

즉, 모든 \(\mr{Aut}(\mb{D})\)의 원소는 2개의 parameter \(\theta, \alpha\)에 대해 \(\psi_{\alpha}(z) = e^{i\theta} \frac{\alpha - z}{1 - \overline{\alpha}z}\) 와 같이 쓸 수 있다.

Theorem. \(\mr{Aut}(\mb{D}) \simeq \mbf{SU}(1,1) / \{\pm 1\}\).

\(\mbf{SU}(1, 1)\)이란 \(J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\)에 대해, \(\ev{\mbf{z},\mbf{w}} = \mbf{z}^{\dagger} J \mbf{w}\)와 같이 정의된 Hermitian form \(\ev{\cdot,\cdot} : \mb{C}^{2} \times \mb{C}^{2} \to \mb{C}\) 을 보존하는 special matrix들의 집합을 말한다. 즉 모든 \(\mbf{z},\mbf{w} \in \mb{C}^{2}\)에 대해 \(\ev{M\mbf{z}, M\mbf{w}} = \ev{z,w}\)를 만족하는 \(\det(M) = 1\)인 matrix들의 집합을 \(\mbf{SU}(1,1)\)이라고 쓴다. 당연히 행렬곱에 대해 군 구조를 가진다.

\(J\) 자리에 \(I\)를 넣어서 만든 group은 \(\mbf{SU}(2)\)라고 부른다.

열심히 계산을 하면 \(\mbf{SU}(1,1)\)의 모든 원소는 \(\abs{a}^{2} - \abs{b}^{2} = 1\)을 만족하는 \(a, b \in \mb{C}\)에 대해 \(U_{a,b} = \begin{pmatrix} a & b \\ \overline{b} & \overline{a} \end{pmatrix}\)의 꼴로 쓸 수 있다는 사실을 증명할 수 있다. 이 때 \(a = ue^{i\theta}, b = ve^{i\phi}\)라고 쓰면, \(u^{2} - v^{2} = 1\)이 성립한다. 이 때 \(\alpha = -b / a\)에 대해, \(\varphi : U_{a,b} \mapsto e^{2i\theta}\psi_{\alpha}\)는 two-to-one homomorphism이 된다. \(U_{a,b}\)에 의해 만들어지는 linear fractional map \(z \mapsto (az + b) / (\overline{b} z + \overline{a})\)가 \(e^{2i\theta} \psi_{\alpha}\)와 같고, 이 관계로부터 map이 group homomorphism임을 쉽게 보일 수 있다.

따라서 \(\ker\varphi = \{\pm 1\}\)로부터 \(\mbf{PSU}(1,1) := \mbf{SU}(1,1) / \{\pm 1\} \simeq \mr{Aut}(\mb{D})\)를 얻고, 추가적으로 \(\mb{Aut}(\mb{D})\)가 \(\mb{D} \times S^{1}\)의 기하적 구조를 가지므로 \(\mbf{PSU}(1,1) \approx \mb{D} \times S^{1}\)임도 알 수 있다.

Written on October 23, 2020