Dimension of Vector space sum

math-linalg ― [ math , linear-algebra ]
\[\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}\]

Vector space \(W\)의 subspace \(U,V\)에 대해 다음의 결과는 잘 알려져 있다. \(\dim (U + V) = \dim U + \dim V - \dim (U \cap V)\) 오늘은 이 결과를 증명하고, 이 정리의 확장과 관련된 유명한 반례를 소개한다.

단, \(U + V = \{u + v : u \in U, v \in V \}\)로 정의한다. \(U, V \le W\)에 대해 \(U \cap V, U + V \le W\)는 자명.

Basis Extension Theorem

원래 이름은 Steinitz Exchange lemma라고 하지만, 익숙한 이름으로 부르자.

\(V\)의 linearly independent subset \(S\)에 대해, \(S\)를 포함하는 \(V\)의 기저 \(B\)가 존재한다.

Proof. \(\left<S\right> = V\)라면 \(S\)는 그 자체로 \(V\)의 기저이다. (단, \(\left<S\right>\)는 \(S\)의 span)

그렇지 않다면 \(v \in V - \left<S\right>\)가 존재하고, \(S' = S \cup \{v\}\) 또한 linearly independent subset임이 자명하다.

\(V\)가 finite-dimensional vector space라면 \(S\)의 크기가 \(\dim V\) 이하임이 보장되므로 이것으로 증명이 끝난다.

finite-dimension이 아닌 경우에도 Zorn’s lemma에 의해 역시 증명이 끝난다…고 알고 있다.

Proof of the theorem

\(U \cap V\)의 subset \(C\)가 그 기저라고 하자. Basis Extension theorem에 의해 \(C\)를 포함하는 \(U\)의 기저 \(B\), \(V\)의 기저 \(D\)가 존재한다.이 때 \(\left<C \cup D\right> = \left<C\right> + \left<D\right> = U + V\)이고, \(C \cap D = B\)이므로 \(C \cup D\)는 linearly independent하다. 따라서 \(\dim(U + V) = \abs{C \cup D} = \abs{C} + \abs{D} - \abs{C \cap D}\) . \(\square\)

이는 다시 말해서, $U \cup V$의 기저는 $U$의 기저와 $V$의 기저를 union해서 만들 수 있다는 것을 말한다.

cf) 이 증명은 Basis Extension Theorem에 의존하므로, $U , V$가 finite dimensional이 아니라면 역시 Zorn’s lemma가 필요하다.

\(n = 3\) generalization: Breakdown

그렇다면 욕심을 좀 내어, 다음의 정리가 성립하지 않을까?

\(W_{1}, W_{2}, W_{3} \le V\)에 대해,

\[\dim(W_{1} + W_{2} + W_{3})= \sum_{i=1}^{3}\dim W_{i} - \sum_{1 \le i < j \le 3} \dim(W_{i} \cap W_{j}) + \dim(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3})\]

안타깝게도 이 정리는 성립하지 않는다. \(\mathbb{R}^{2}\)에서 원점을 지나는 직선을 3개 잡으면 반례가 된다.

이 실패를 몇 가지 관점에서 조명해볼 수 있는데, 실제로 성립하는 한 가지 사실을 보자.

\[\dim (W_{1} + W_{2} + W_{3}) = \sum_{i=1}^{3} \dim W_{i} - \dim (W_{1} \cap (W_{2} + W_{3}))\]

여기서 \(W_{1} \cap (W_{2} + W_{3}) = (W_{1} \cap W_{2}) + (W_{1} \cap W_{3})\)이 아니다. dimension도 당연히 일반적으로 같지 않다. 역시 \(\mathbb{R}^{2}\)에서 원점을 지나는 3개의 직선이 반례가 된다.

\(n = 2\)인 경우와 유사하게 \(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3}\)의 기저로부터 \(W_{i} \cap W_{j}\)의 기저를 만들고, 또 \(W_{i}\)의 기저를 만드는 방법을 생각할 수 있는데, 그렇게 만든 \(W_{i}\)의 기저를 \(B_{i}\)라고 하자. 이 때, \(B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3}\)는 당연히 \(W_{1} + W_{2} + W_{3}\)를 span하지만 linear independency가 보장되지 않음을 알 수 있다. 다르게 말해, 다음의 부등식은 여전히 성립한다.

\[\dim(W_{1} + W_{2} + W_{3}) \le \sum_{i=1}^{3}\dim W_{i} - \sum_{1 \le i < j \le 3} \dim(W_{i} \cap W_{j}) + \dim(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3})\]
Written on March 5, 2020