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SEEMOUS 2019를 풀어보았다. 몇몇 문제는 풀이를 검증하기 위한 배경 지식이 부족해서 나중에 자세히 다루기로 한다. P1 $[0,1]$의 값을 갖는 무한 실수열 $\set{x_{n}}$이 다음 조건을 만족하면 $\set{x_{n}}$을 Devin sequence라고 한다. $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) = \int_{0}^{1} f(x)dx $ 이 때, $\set{x_{n}}$이 Devin sequence가 될 필요충분조건은 $ \forall k \ge 0 \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k} = \frac{1}{k+1} $ 인 것임을 보여라. Solution sketch $\implies$는 자명. $\impliedby$는 Weierstrass. P2 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$에 대하여 다음을 만족하는 $\set{\varepsilon_{i}} \in \set{-1,1}^{m}$이 존재함을 보여라....

평면 위에 다음을 만족하는 점열 $\set{P_n}_{n \in \mathbb{Z}}$이 존재함을 보여라: “$P_{a}, P_{b}, P_{c}$가 공선점인 것은 $a + b + c = 2014$와 동치이다.” ...

$\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}$ Vector space $W$의 subspace $U,V$에 대해 다음의 결과는 잘 알려져 있다. $ \dim (U + V) = \dim U + \dim V - \dim (U \cap V) $ 오늘은 이 결과를 증명하고, 이 정리의 확장과 관련된 유명한 반례를 소개한다. 단, $U + V = \set{u + v : u \in U, v \in V}$로 정의한다. $U, V \le W$에 대해 $U \cap V, U + V \le W$는 자명....