Schwarz Lemma

C\mathbb{C}의 open unit disk D\mathbb{D}에 대해, holomorphic function f:DDf : \mathbb{D} \to \mathbb{D}를 생각하자. Schwarz Lemma는 이러한 ff의 성질에 대한 Lemma이고, 이는 D\mathbb{D}의 Automorphism group을 characterize하는 데 큰 도움을 준다. Lemma (Schwarz) f:DDf : \mb{D} \to \mb{D}가 holomorphic이고, f(0)=0f(0) = 0을 만족한다고 하자. 다음 세 성질이 성립한다. f(z)z\abs{f(z)} \le \abs{z}. 만약 z00z_0 \neq 0에 대해 f(z0)=z0\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}가 성립한다면, ff는 rotation. f(0)1\abs{f’(0)} \le 1. 등호가 성립한다면 ff는 rotation. 증명은 기초 복소해석을 공부했다면 크게 어렵지는 않다....

December 25, 2023 · 3 min · 600 words · TAMREF

SEEMOUS 2019

SEEMOUS 2019를 풀어보았다. 몇몇 문제는 풀이를 검증하기 위한 배경 지식이 부족해서 나중에 자세히 다루기로 한다. P1 [0,1][0,1]의 값을 갖는 무한 실수열 {xn}\set{x_{n}}이 다음 조건을 만족하면 {xn}\set{x_{n}}을 Devin sequence라고 한다. limn1ni=1nf(xi)=01f(x)dx \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) = \int_{0}^{1} f(x)dx 이 때, {xn}\set{x_{n}}이 Devin sequence가 될 필요충분조건은 k0limn1ni=1nxik=1k+1 \forall k \ge 0 \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k} = \frac{1}{k+1} 인 것임을 보여라. Solution sketch     \implies는 자명.     \impliedby는 Weierstrass. P2 A1,A2,,AmMn,n(R)A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})에 대하여 다음을 만족하는 {εi}{1,1}m\set{\varepsilon_{i}} \in \set{-1,1}^{m}이 존재함을 보여라....

December 25, 2023 · 2 min · 333 words · TAMREF

Swerc2019 H

SWERC 2019 H번 문제이다. BOJ 18300번이기도 하다. ...

December 25, 2023 · 1 min · 109 words · TAMREF

Swerc2019 J

SWERC 2019 J번 문제이다. BOJ 18302번이기도 하다. 대회 중에는 rkm0959가 풀었다. 너무 긴 본문이 읽기 싫어서 알큼이 요약해준 문제 설명대로만 코드를 짰다가 중요한 디테일을 누락시켜서 엄청 고생했다… 간단히 말해서, inorder traversal (LDR 순회)이 주어진 수열이 나올 수 있는 binary tree의 개수를 구하는 문제이다. 단, 이 tree는 min-heap의 조건 (자식 \ge 부모)를 만족해야 한다. ...

December 25, 2023 · 1 min · 159 words · TAMREF

Swerc2019 K

SWERC 2019 K번 문제이다. BOJ 18303번이기도 하다. rkm0959한테 문제 요약만 들어서 본문을 잘 모른다(…) Unweighted Directed graph에서 어떤 고정된 정점 TT에 대해 uTu \to T 간선이 있고, 이 간선을 사용하지 않으면 uu에서 TT로 이동할 수 없는 정점 uu를 모두 구하는 문제이다. 정점 개수와 간선 개수는 10510^{5}개 이하. ...

December 25, 2023 · 1 min · 141 words · TAMREF