Riemann Mapping은 $\mathbb{C}$의 모든 simply connected proper subset $\Omega$에 대해, Conformal map $f : \mathbb{D} \to \Omega$가 존재한다는 매우 강력한 정리이다. 여기서는 짧고 아름다운 nonconstructive한 증명을 다룬다.

Ref: Stein & Shakarchi, Complex Analysis Ch.8

Montel’s theorem

어떤 함수열 $\ev{f_n}$이 수렴하는 부분수열 $\ev{f_{n(k)}}$를 갖는다는 사실은 매우 유용하다. 물론 여기서 수렴은 모든 cpt subset에 대한 uniform convergence를 의미한다.

Arzela-Ascoli Theorem의 경우, 정의역이 cpt set인 연속함수들의 함수족 $\mc{F}$가 uniformly bdd, equicontinuous면 위 성질을 만족한다는 것을 보장하고 있다. 하지만 이렇게 조건이 까다로우면 복소해석 하는 맛이 안 난다.

Theorem (Montel). $\mb{C}$의 open subset $\Omega$에 대해, $\mc{F} \subseteq \mc{H}(\Omega)$ 가 $\Omega$의 모든 cpt subset에 대해 uniformly bounded라면 $\mc{F}$는 equicontinuous이고, 수렴하는 부분수열을 갖는다. (단, 함수열의 수렴값이 여전히 $\mc{F}$의 원소임은 보장되지 않는다)

증명은 Arzela-Ascoli랑 비슷하고 그래서 좀 길다. 생략.

Lemma를 하나 더 소개한다.

Lemma 1. $\mb{C}$의 connected open subset $\Omega$에 대해, $\Omega$의 injective하고 holomorphic한 함수열 $\ev{f_n}$이 $\Omega$의 모든 cpt subset에 대해 $f \in \mc{H}(\Omega)$로 uniformly converge한다고 하자. 이 때, $f$는 injective이거나 constant이다.

Proof. $f$가 nonconstant, noninjective라고 하자. 그렇다면 $z \neq w \in \Omega$가 존재하여 $f(z) = f(w)$이다. 이제 $g_{n}(z) = f_{n}(z) - f_{n}(w)$, $g(z) = f(z) - f(w)$라고 하자. $g_{n}$은 여전히 injective holomorphic이다.

$w$는 $g$의 zero가 되는데, $g$가 nonconstant니까 isolated zero이다. 따라서 $w$를 원점으로 하는 작은 원 $C$를 잡아서 $\frac{1}{2\pi i}\int_{C} \frac{g’(z)}{g(z)} = 1$이 되도록 할 수 있다. 그런데 $C$ 위에서 $g_{n} \rightrightarrows g, g_{n}’ \rightrightarrows g’$이므로 $\frac{g_{n}’}{g_{n}} \rightrightarrows \frac{g’}{g}$이다. 그런데 $g_{n}$은 injective라서 $\frac{1}{2\pi i}\int_{C} \frac{g_{n}’(z)}{g_{n}(z)} = 0$이고, 모순. $\blacksquare$

Riemann Mapping Theorem

Conformal map은 holomorphic bijection을 의미한다. Dirichlet problem같은 미분방정식을 풀 때 conformal map의 존재성은 매우 중요하다; 어떤 conformal map $f : \Omega \to \mb{D}$가 경계에서 continuous bijection으로 extend까지 되는 경우, 잘 알려진 해를 갖는 disk에서의 dirichlet problem을 그대로 $\Omega$에 이식할 수 있다. 따라서 아무렇게나 $\Omega$가 주어졌을 때 Conformal map $f : \Omega \to \mb{D}$가 존재하는지는 중요한 문제가 된다.

후자의 조건인 continuous bijection extension의 경우 $\Omega$가 polygon인 경우 가능하다는 것이 잘 알려져 있으며 $\partial \Omega$가 smooth closed curve 또는 continuous curve의 경우에도 확장이 가능하다고 하..지만 일단 이건 어려우니까, 지금은 생각하지 않는다. 일단은 conformal map의 존재성을 보자.

우선 $\Omega = \mb{C}$인 경우에는 불가능하다. $f(\mb{C}) \subseteq \mb{D}$라는 사실 자체가 $f$가 bounded entire function이라는 것을 함의하므로 Liouville theorem에 막힌다. 따라서 $\Omega$는 최소한 $\mb{C}$의 proper open subset이다.

또한, $f$는 당연히 연속함수이므로 disk의 simply connectivity를 보존해야 한다. 즉, 임의의 두 경로 사이에 homotopy가 존재하는, simply connected domain이어야 한다.

아직까지 나온게 연속성 argument밖에 없는데, 여기서 벌써 정리가 나오기 때문에 복소해석학이 사기 학문이다.

Theorem (Riemann). $\mb{C}$의 proper open simply connected subset $\Omega$와 고정된 한 점 $z_0 \in \Omega$에 대해, $F(z_0) = 0, F’(z_0) > 0$을 만족하는 conformal map $F$가 유일하게 존재한다.

유일성의 경우 Schwarz lemma를 생각하면 그리 중요한 부분이 아니다. 따라서 conformal map의 존재성만 보이기로 하자.

  1. 먼저 $\Omega$를 적당한 $\mb{D}$의 원점을 포함하는 부분집합으로 보내는 conformal map을 하나 만들자. 즉, 원점을 포함하는 disk의 subset인 경우만 생각할 것이다. $\Omega$가 simply connected이므로 $\log$를 정의하는 생각을 자연스레 해볼 수 있다. $\Omega$가 proper subset임에 주목하여 $a \notin \Omega$를 잡고, $h(z) = \log(z - a)$로 정의하자. 그렇다면 $h$는 holomorphic이고, $e^{h(z)} = z - a$이므로 injective이다. 또한 임의의 $z \neq w$에 대해 $h(z) \neq h(w) + 2\pi i$가 성립해야 하며, exponential function이 연속이므로 $h(z_{n}) \to h(w) + 2\pi i$인 수열 $z_n \in \Omega$조차 잡을 수 없다. ($h(z_{n}) \to h(w) + 2\pi i \implies a + e^{h(z_n)} = z_{n} \to w$) 따라서 어떤 $w \in \Omega$에 대해 $H(z) = \frac{1}{h(z) - h(w) - 2\pi i}$는 bounded, injective ($h$가 injective이므로), holomorphic function이다. 따라서 $H : \Omega \to H(\Omega)$는 conformal map이고, 적당한 linear transformation을 끼얹어서 $H$를 수정하면 $H(\Omega)$가 disk의 subset이고 원점을 포함하게 할 수 있다.
  2. 이제 $\Omega$가 원점을 포함하는 $\mb{D}$의 open subset이라고 가정해도 좋다. 이제, $f(0) = 0$을 만족하는 모든 injective holomorphic map $f : \Omega \to \mb{D}$의 class를 $\mc{F}$라고 두면 자연히 $\mc{F}$는 uniformly bounded이다. 더하여, $z = 0$ 근처에서 Cauchy integral formula를 생각하면 $\abs{f’(0)}$이라는 양 또한 $f \in \mc{F}$에 대해 uniformly bounded이다. 따라서 Montel’s theorem에 의해, 모든 $\mc{F}$의 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.
  3. $s = \sup_{f \in \mc{F}} \abs{f’(0)} < \infty$를 생각하고, $\abs{f_{n}’(0)}$이 $s$로 수렴하는 수열 $\ev{f_n}$을 잡으면, 수렴하는 부분수열 $\ev{f_{n(k)}}$ 가 존재한다. 이 함수열은 모든 $\Omega$의 cpt subset에 대해 $f \in \mc{H}(\Omega)$로 수렴하는데, $f$는 $\abs{f’(0)} = s > 1$ ($id_{\Omega} \in \mc{F}$)이므로 nonconstant이다. 따라서 Lemma 1에 의해서 $f$는 injective holomorphic이고, $f(0) = 0$이다. 마지막으로 $f : \Omega \in \overline{\mb{D}}$이므로 $\abs{f(z)} \le 1$인데, $f$가 nonconstant이므로 maximum modulus principle에 의해 $\abs{f(z)} < 1$이다. 따라서 $f \in \mc{F}$임또한 알 수 있다.
  4. 이제 이 $f$가 정말로 conformal map임을 보이자. $f$가 surjection임만 보이면 충분하다. 귀류법으로 $f$가 surjection이 아니라고 하고, $\alpha \in \mb{D} \setminus f(\Omega)$라고 두자. 이제 Blaschke factor $\psi_{\alpha}$를 합성하면, $(\psi_{\alpha} \circ f) (U)$는 원점을 포함하지 않는 simply connected set이다. 따라서 square root function $g(w) = e^{\frac{1}{2}\log w}$가 injective holomorphic function이 된다. 이제 $F = \psi_{g(\alpha)} \circ g \circ \psi_{\alpha} \circ f$라고 두면 $F : \Omega \to \mb{D}$가 되고, $F$ 또한 injective holomorphic이므로 $F \in \mc{F}$이다. 당연히 $F(0) = 0$이다.
  5. 한편, $f = \psi_{\alpha} \circ (z \mapsto z^{2}) \circ \psi_{\alpha} \circ F = \Phi \circ F$를 생각하자. 이 때, $\Phi$의 구성요소들로부터 $\Phi : \mb{D} \to \mb{D}$로써 생각한다. ($F$의 surjectivity를 가정하지 않았음에 유의하자) $(z \mapsto z^{2})$가 $\mb{D}$에서 noninjective이므로, Schwarz lemma를 생각하면 $\abs{\Phi’(0)} < 1$이다. ($\abs{\Phi’(0)} \le 1$의 등호조건은 $\Phi$가 rotation인 것) 따라서 $s = \abs{f’(0)} = \abs{\Phi’(0)} \abs{F’(0)} < \abs{F’(0)}$이고, $F \in \mc{F}$임을 생각하면 모순.

따라서 $f$가 holomorphic bijection임을 확인할 수 있다. Schwarz Lemma의 중요성을 다시 눈여겨볼 수 있다. $\blacksquare$