$\mathbb{C}$의 open unit disk $\mathbb{D}$에 대해, holomorphic function $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$를 생각하자. Schwarz Lemma는 이러한 $f$의 성질에 대한 Lemma이고, 이는 $\mathbb{D}$의 Automorphism group을 characterize하는 데 큰 도움을 준다.
Lemma (Schwarz)
$f : \mb{D} \to \mb{D}$가 holomorphic이고, $f(0) = 0$을 만족한다고 하자. 다음 세 성질이 성립한다.
- $\abs{f(z)} \le \abs{z}$.
- 만약 $z_0 \neq 0$에 대해 $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$가 성립한다면, $f$는 rotation.
- $\abs{f’(0)} \le 1$. 등호가 성립한다면 $f$는 rotation.
증명은 기초 복소해석을 공부했다면 크게 어렵지는 않다.
Proof.
$f(0) = 0$이므로, $g(z) := f(z) / z$가 역시 $\mb{D}$에서 holomorphic이다. 이 때 임의의 $ r < 1$에 대해, 반지름 $r$짜리 circle $C_{r}(0) = \partial D_{r}(0)$를 생각하면 $ \sup_{z \in C_{r}(0)} \abs{g(z)} = \frac{1}{r}\sup_{z \in C_{r}(0)} \abs{f(z)} \le \frac{1}{r} $ 이 성립한다. 이 때 $g$가 holomorphic이므로 Maximum Modulus Principle에 의해 $\sup_{z \in D_{r}(0)} \abs{g(z)} \le \frac{1}{r}$이고, $r \to 1^{+}$의 극한에서 $\abs{g(z)} \le 1\implies \abs{f(z)} \le \abs{z}$를 얻는다.
만약 $\abs{g(z_0)} = 1$을 만족하는 $z_0 \neq 0$이 있다면 역시 Maximum Modulus principle에 의해 $g$는 constant function이어야 한다. $g(z) = g(z_0) = e^{i\theta}$라고 두면, $f(z) = e^{i\theta}z$는 rotation이 된다.
$g(0) = f’(0)$임에 주목하자. 마찬가지로 $\abs{g(0)} \le 1$이어야 하고, $\abs{g(0)} = 1$이라면 역시 $f$는 rotation이 된다. 증명 끝.
Applications of Schwarz Lemma
Definition. $\mb{C}$의 open set $U, V$에 대해, $f : U \to V$가 holomorphic이고 bijection이면 $f$를 conformal map이라고 한다. 특별히 $U = V$인 경우 $f$를 $U$의 automorphism이라고 한다.
위 정의에서 $f^{-1} : V \to U$가 holomorphic임은 보일 수 있다.
Proposition. $U$의 모든 automorphism을 모은 집합을 $\mr{Aut}(U)$라고 하면, $(\mr{Aut}(U), \circ)$는 군을 이룬다.
Theorem. $f \in \mr{Aut}(\mb{D})$에 대해 $f(0) = 0$이라면 $f$는 rotation이다.
Proof. $f$에 대해 Schwarz lemma를 적용하면, $\abs{f(z)} \le \abs{z}$가 성립한다. 반면 $f^{-1}$에 대해 Schwarz lemma를 적용하면, $\abs{z} = \abs{f^{-1}(f(z))} \le \abs{f(z)}$가 성립하여 $\abs{f(z)} = \abs{z}$가 되고, $f$는 rotation이어야 한다.
이제 이 사실에 기반하여 $\mr{Aut}(\mb{D})$를 Characterize하자. 그 전에 다음과 같은 도구를 소개한다.
Definition. (Blaschke factor) $\alpha \in \mb{D}$에 대해, $\psi_{\alpha} : \mb{D} \to \mb{D}$는 $\mr{Aut}(\mb{D})$의 원소이며, $\psi_{\alpha}(0) = \alpha, \psi_{\alpha}(\alpha) = 0$이다. 그 식은 아래와 같고, 모든 성질을 아래 식으로부터 유도가능하다. $ \psi_{\alpha}(z) = \frac{\alpha - z}{1 - \overline{\alpha}z} $ 또 하나 주목할 만한 성질로, $\psi_{\alpha} \circ \psi_{\alpha} = \mr{id}_{\mb{D}}$가 성립한다. 이것도 계산해보면 된다.
Theorem. 모든 $\mr{Aut}(\mb{D})$의 원소는 $\psi_{\alpha}$와 rotation의 합성으로 표현할 수 있다.
$f \in \mr{Aut}(\mb{D})$를 생각하자. $g = \psi_{f(0)} \circ f$는 $g(0) = 0$을 만족하는 Automorphism이므로 rotation이고, 양쪽에 $\psi_{f(0)}$를 합성하면 증명 끝.
즉, 모든 $\mr{Aut}(\mb{D})$의 원소는 2개의 parameter $\theta, \alpha$에 대해 $ \psi_{\alpha}(z) = e^{i\theta} \frac{\alpha - z}{1 - \overline{\alpha}z} $ 와 같이 쓸 수 있다.
Theorem. $\mr{Aut}(\mb{D}) \simeq \mbf{SU}(1,1) / \set{\pm 1}$.
$\mbf{SU}(1, 1)$이란 $J = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1\end{pmatrix}$에 대해, $\ev{\mbf{z},\mbf{w}} = \mbf{z}^{\dagger} J \mbf{w}$와 같이 정의된 Hermitian form $\ev{\cdot,\cdot} : \mb{C}^{2} \times \mb{C}^{2} \to \mb{C}$ 을 보존하는 special matrix들의 집합을 말한다. 즉 모든 $\mbf{z},\mbf{w} \in \mb{C}^{2}$에 대해 $\ev{M\mbf{z}, M\mbf{w}} = \ev{z,w}$를 만족하는 $\det(M) = 1$인 matrix들의 집합을 $\mbf{SU}(1,1)$이라고 쓴다. 당연히 행렬곱에 대해 군 구조를 가진다.
$J$ 자리에 $I$를 넣어서 만든 group은 $\mbf{SU}(2)$라고 부른다.
열심히 계산을 하면 $\mbf{SU}(1,1)$의 모든 원소는 $\abs{a}^{2} - \abs{b}^{2} = 1$을 만족하는 $a, b \in \mb{C}$에 대해 $U_{a,b} = \begin{pmatrix} a & b \ \overline{b} & \overline{a} \end{pmatrix}$의 꼴로 쓸 수 있다는 사실을 증명할 수 있다. 이 때 $a = ue^{i\theta}, b = ve^{i\phi}$라고 쓰면, $u^{2} - v^{2} = 1$이 성립한다. 이 때 $\alpha = -b / a$에 대해, $\varphi : U_{a,b} \mapsto e^{2i\theta}\psi_{\alpha}$는 two-to-one homomorphism이 된다. $U_{a,b}$에 의해 만들어지는 linear fractional map $z \mapsto (az + b) / (\overline{b} z + \overline{a})$가 $e^{2i\theta} \psi_{\alpha}$와 같고, 이 관계로부터 map이 group homomorphism임을 쉽게 보일 수 있다.
따라서 $\ker\varphi = \set{\pm 1}$로부터 $\mbf{PSU}(1,1) := \mbf{SU}(1,1) / \set{\pm 1} \simeq \mr{Aut}(\mb{D})$를 얻고, 추가적으로 $\mb{Aut}(\mb{D})$가 $\mb{D} \times S^{1}$의 기하적 구조를 가지므로 $\mbf{PSU}(1,1) \approx \mb{D} \times S^{1}$임도 알 수 있다.