평면 위에 다음을 만족하는 점열 $\set{P_n}_{n \in \mathbb{Z}}$이 존재함을 보여라:
“$P_{a}, P_{b}, P_{c}$가 공선점인 것은 $a + b + c = 2014$와 동치이다.”
답을 알고 푸는 것과 모르고 푸는 게 차이가 큰 문제라고 생각한다. 풀이를 생각한 과정을 적당히 적어두려고 한다.
일단 $2014$는 year constant이긴 하지만, 어떤 의미가 있는지 모르겠으니 $a = a’ + 677$ 정도로 바꾸자. 그럼 이제 $a + b + c = 1$인 경우로 바꾸면 된다.
$P_{a} = (f(a), g(a))$로 두자. 신발끈 공식에 의해 세 점 $P_{a}, P_{b}, P_{c}$가 공선점인 것은 $Q(a, b, c) = \sum_{cyc} f(a)g(b) - f(b)g(a) = 0$ 과 동치이다. 당장 얻어낼 수 있는 정보가 너무 없으니, $f, g$가 모두 “다항식”이라는 희망적인 가정을 해보자.
일단 $Q(a, b, c)$의 근을 생각해보면 항상 $a = b, b = c, c = a$를 근으로 가지는 데다 $(a + b + c - 1)$도 근으로 가진다. 그래서 최소한 $(a-b)(b-c)(c-a)(a + b + c - 1)$을 근으로 가져야 한다. 그런데 이걸 계산해보면 $\sum_{cyc} a(b^3 - b^2) - b(a^3 - a^2)$로 정리가 되어서 나온다. alternating polynomial이기 때문에 $a^{2}b^{2}$이나 $a^{2}bc$, $abc$같은 항이 나오지 않기 때문이다. 고차식이었다면 위험할 뻔했다…
그래서 그냥 $(a, a^{3} - a^{2})$가 답이고, 눈치챌 수 있듯이 $(a, a^{3} - 2014a^{2})$가 원본 문제의 답이 된다.