$\newcommand{\abs}[1]{\lvert #1 \rvert}$

Vector space $W$의 subspace $U,V$에 대해 다음의 결과는 잘 알려져 있다. $ \dim (U + V) = \dim U + \dim V - \dim (U \cap V) $ 오늘은 이 결과를 증명하고, 이 정리의 확장과 관련된 유명한 반례를 소개한다.

단, $U + V = \set{u + v : u \in U, v \in V}$로 정의한다. $U, V \le W$에 대해 $U \cap V, U + V \le W$는 자명.

Basis Extension Theorem

원래 이름은 Steinitz Exchange lemma라고 하지만, 익숙한 이름으로 부르자.

$V$의 linearly independent subset $S$에 대해, $S$를 포함하는 $V$의 기저 $B$가 존재한다.

Proof. $\left<S\right> = V$라면 $S$는 그 자체로 $V$의 기저이다. (단, $\left<S\right>$는 $S$의 span)

그렇지 않다면 $v \in V - \left<S\right>$가 존재하고, $S’ = S \cup \set{v}$ 또한 linearly independent subset임이 자명하다.

$V$가 finite-dimensional vector space라면 $S$의 크기가 $\dim V$ 이하임이 보장되므로 이것으로 증명이 끝난다.

finite-dimension이 아닌 경우에도 Zorn’s lemma에 의해 역시 증명이 끝난다…고 알고 있다.

Proof of the theorem

$U \cap V$의 subset $C$가 그 기저라고 하자. Basis Extension theorem에 의해 $C$를 포함하는 $U$의 기저 $B$, $V$의 기저 $D$가 존재한다.이 때 $\left<C \cup D\right> = \left<C\right> + \left<D\right> = U + V$이고, $C \cap D = B$이므로 $C \cup D$는 linearly independent하다. 따라서 $\dim(U + V) = \abs{C \cup D} = \abs{C} + \abs{D} - \abs{C \cap D}$ . $\square$

이는 다시 말해서, $U \cup V$의 기저는 $U$의 기저와 $V$의 기저를 union해서 만들 수 있다는 것을 말한다.

cf) 이 증명은 Basis Extension Theorem에 의존하므로, $U , V$가 finite dimensional이 아니라면 역시 Zorn’s lemma가 필요하다.

$n = 3$ generalization: Breakdown

그렇다면 욕심을 좀 내어, 다음의 정리가 성립하지 않을까?

$W_{1}, W_{2}, W_{3} \le V$에 대해,

$\dim(W_{1} + W_{2} + W_{3})= \sum_{i=1}^{3}\dim W_{i} - \sum_{1 \le i < j \le 3} \dim(W_{i} \cap W_{j}) + \dim(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3})$

안타깝게도 이 정리는 성립하지 않는다. $\mathbb{R}^{2}$에서 원점을 지나는 직선을 3개 잡으면 반례가 된다.

이 실패를 몇 가지 관점에서 조명해볼 수 있는데, 실제로 성립하는 한 가지 사실을 보자.

$\dim (W_{1} + W_{2} + W_{3}) = \sum_{i=1}^{3} \dim W_{i} - \dim (W_{1} \cap (W_{2} + W_{3}))$

여기서 $W_{1} \cap (W_{2} + W_{3}) = (W_{1} \cap W_{2}) + (W_{1} \cap W_{3})$이 아니다. dimension도 당연히 일반적으로 같지 않다. 역시 $\mathbb{R}^{2}$에서 원점을 지나는 3개의 직선이 반례가 된다.

$n = 2$인 경우와 유사하게 $W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3}$의 기저로부터 $ W_{i} \cap W_{j}$의 기저를 만들고, 또 $W_{i}$의 기저를 만드는 방법을 생각할 수 있는데, 그렇게 만든 $W_{i}$의 기저를 $B_{i}$라고 하자. 이 때, $B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3}$는 당연히 $W_{1} + W_{2} + W_{3}$를 span하지만 linear independency가 보장되지 않음을 알 수 있다. 다르게 말해, 다음의 부등식은 여전히 성립한다.

$\dim(W_{1} + W_{2} + W_{3}) \le \sum_{i=1}^{3}\dim W_{i} - \sum_{1 \le i < j \le 3} \dim(W_{i} \cap W_{j}) + \dim(W_{1} \cap W_{2} \cap W_{3})$