Arzela-Ascoli theorem을 따로 알아야 할 상황이 생겨서, 해석개론에서 약간의 지름길을 타서 이 정리를 건드려보기로 했다. Compactness에 대한 통찰을 요구한다. Ref: 김성기, 김도한, 계승혁 - 해석개론 $N_{\varepsilon}(x) := \set{y \mid \norm{x - y} < \varepsilon }$. 무엇의 부분집합인지는 context에 의존한다. Uniformly continuous function 함수 $f$가 정의역 $X$에서 uniformly continuous하다는 말은, given $\varepsilon > 0$에 대해 $ \exists \delta ; \forall x, y \in X \quad \norm{x-y} < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon $ 를 만족한다는 것을 말한다....
조합론에서의 Cayley’s theorem은 완전그래프 $K_{n}$의 서로 다른 spanning tree가 $n^{n-2}$개라는 정리이다. 일반적으로는 그 쓰임보다도 아름다운 증명에 가치를 둔다. Functional graph를 알고 있다는 전제 하에 글을 작성했다. Reference : Miklos Bona - [A Walk through Combinatorics] cf : $[n] := \set{1,\dots,n}.$ Proof of the theorem (By A. Joyal) $K_{n}$의 spanning tree의 개수를 $t_{n}$이라고 두고, $n^{2}t_{n} = n^{n}$임을 보인다. Definition. 정점 $n \ge 1$개의 트리 $T$에서 정점 $a, b$를 골라 $a$를 start, $b$를 end로 부르자....
Dol’nikov theorem이란 일반화된 Kneser graph의 chromatic number에 대한 정리이다. statement만 빌려 쓰면, 적절한 유한집합 $[n]$과 $F \subseteq 2^{[n]}$에 대해 다음이 성립한다: $ \chi(\mar{KG}(F)) \ge \mar{cd}_{2}(F) $ 이 글에서는 Borsuk-Ulam theorem을 이용하여 이를 증명한다. Problem analysis Lovasz-Kneser theorem에서 다루었던 Kneser graph의 coloring 문제를 일반화해보자. 적당한 ground set $[n]$이 있다. 이 $n$의 값은 오늘 전혀 중요하지 않다. $F \subseteq 2^{[n]}$이 그래프의 정점 집합이 된다. 색은 이 정점 위에 칠할 것이다. $A, B \in F$에 대해 $A \cap B = \emptyset$이면 $A, B$ 사이에 간선을 잇는다....
Grundy Number는 PS에서 굉장히 자주 쓰이는 데 비해 그 증명이나 수학적 배경이 잘 알려져 있지 않다. 앞으로 일련의 포스팅에서는 Sprague-Grundy Theorem에 대해 공부한 것을 PS 스타일로 정리하려 한다. 그 중에서 이 글은 Grundy Number의 정의와 Sprague-Grundy theorem의 증명에 대해 다룬다. Nim-Game의 필승 전략에 대한 사전 지식이 필요하며, 문제풀이에 최적화된 글이기 때문에 statement가 실제 theorem의 내용과는 다소 차이가 있다. References sirkingnightingfail, “A Blog on Sprague-Grundy Theorem” Wikipedia: Sprague-Grundy theorem Definition of Game “게임”은 상당히 광범위한 용어이지만, Sprague-Grundy theorem의 영향 아래 있는 “Game”은 다음의 조건을 만족하는 일종의 state collection을 말한다....
Permutation $\pi : [n] \to [n]$에 대해 Displacement를 $D(\pi) = \sum_{i=1}^{n} \lvert i - \pi (i) \rvert$로 정의한다. 주어진 양수 $k$에 대해, $D(\pi) = 2k$를 만족하는 짝순열의 개수를 $E_{k}$, 홀순열의 개수를 $O_{k}$라 두면 $E_{k} - O_{k} = (-1)^{k}\binom{n-1}{k}$임을 보여라. ...