analysis

Arzela-Ascoli theorem을 따로 알아야 할 상황이 생겨서, 해석개론에서 약간의 지름길을 타서 이 정리를 건드려보기로 했다. Compactness에 대한 통찰을 요구한다. Ref: 김성기, 김도한, 계승혁 - 해석개론 $N_{\varepsilon}(x) := \set{y \mid \norm{x - y} < \varepsilon }$. 무엇의 부분집합인지는 context에 의존한다. Uniformly continuous function 함수 $f$가 정의역 $X$에서 uniformly continuous하다는 말은, given $\varepsilon > 0$에 대해 $ \exists \delta ; \forall x, y \in X \quad \norm{x-y} < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon $ 를 만족한다는 것을 말한다....

Space-filling curve는 일반적으로 $I := [0,1]$에서 $I \times I$로 가는 continuous onto function을 말한다. Hilbert’s curve, Sierpinski’s curve 등 여러 가지가 알려져 있다. 이런 curve들의 특징은 uniformly converge하는 연속함수열의 극한으로 정의된다는 점인데, 그렇지 않고는 Space Filling Curve를 만들기 굉장히 어렵기 때문이다. 이 포스팅에서는 $C^{1}$ class의 space-filling curve가 존재하지 않음을 보인다. ...