크기가 $n \times n$인 실대칭행렬 $A = (a_{ij})$에 대해 $i \neq j \implies a_{ij} \le 0$을 만족하고, $A$의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수이다. (positive-semidefinite) $n \ge 2$라고 할 때, 다음 물음에 답하여라. $\ker A = \set{v \in \mathbb{R}^{n} : v^{t}Av = 0}$ $[n] = \set{1, \cdots, n}$의 nonempty partition $I, J$에 대해, 항상 $a_{ij} < 0$인 $i \in I$, $j \in J$가 존재한다고 하자. 이 때, $\dim \ker A \le 1$임을 보여라....
SEEMOUS 2019를 풀어보았다. 몇몇 문제는 풀이를 검증하기 위한 배경 지식이 부족해서 나중에 자세히 다루기로 한다. P1 $[0,1]$의 값을 갖는 무한 실수열 $\set{x_{n}}$이 다음 조건을 만족하면 $\set{x_{n}}$을 Devin sequence라고 한다. $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}) = \int_{0}^{1} f(x)dx $ 이 때, $\set{x_{n}}$이 Devin sequence가 될 필요충분조건은 $ \forall k \ge 0 \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k} = \frac{1}{k+1} $ 인 것임을 보여라. Solution sketch $\implies$는 자명. $\impliedby$는 Weierstrass. P2 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \in \mathfrak{M}_{n,n}(\mathbb{R})$에 대하여 다음을 만족하는 $\set{\varepsilon_{i}} \in \set{-1,1}^{m}$이 존재함을 보여라....
평면 위에 다음을 만족하는 점열 $\set{P_n}_{n \in \mathbb{Z}}$이 존재함을 보여라: “$P_{a}, P_{b}, P_{c}$가 공선점인 것은 $a + b + c = 2014$와 동치이다.” ...