complex-analysis

Riemann Mapping은 $\mathbb{C}$의 모든 simply connected proper subset $\Omega$에 대해, Conformal map $f : \mathbb{D} \to \Omega$가 존재한다는 매우 강력한 정리이다. 여기서는 짧고 아름다운 nonconstructive한 증명을 다룬다. Ref: Stein & Shakarchi, Complex Analysis Ch.8 Montel’s theorem 어떤 함수열 $\ev{f_n}$이 수렴하는 부분수열 $\ev{f_{n(k)}}$를 갖는다는 사실은 매우 유용하다. 물론 여기서 수렴은 모든 cpt subset에 대한 uniform convergence를 의미한다. Arzela-Ascoli Theorem의 경우, 정의역이 cpt set인 연속함수들의 함수족 $\mc{F}$가 uniformly bdd, equicontinuous면 위 성질을 만족한다는 것을 보장하고 있다....

$\mathbb{C}$의 open unit disk $\mathbb{D}$에 대해, holomorphic function $f : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$를 생각하자. Schwarz Lemma는 이러한 $f$의 성질에 대한 Lemma이고, 이는 $\mathbb{D}$의 Automorphism group을 characterize하는 데 큰 도움을 준다. Lemma (Schwarz) $f : \mb{D} \to \mb{D}$가 holomorphic이고, $f(0) = 0$을 만족한다고 하자. 다음 세 성질이 성립한다. $\abs{f(z)} \le \abs{z}$. 만약 $z_0 \neq 0$에 대해 $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$가 성립한다면, $f$는 rotation. $\abs{f’(0)} \le 1$. 등호가 성립한다면 $f$는 rotation. 증명은 기초 복소해석을 공부했다면 크게 어렵지는 않다....