topological-combinatorics

Dol’nikov theorem이란 일반화된 Kneser graph의 chromatic number에 대한 정리이다. statement만 빌려 쓰면, 적절한 유한집합 $[n]$과 $F \subseteq 2^{[n]}$에 대해 다음이 성립한다: $ \chi(\mar{KG}(F)) \ge \mar{cd}_{2}(F) $ 이 글에서는 Borsuk-Ulam theorem을 이용하여 이를 증명한다. Problem analysis Lovasz-Kneser theorem에서 다루었던 Kneser graph의 coloring 문제를 일반화해보자. 적당한 ground set $[n]$이 있다. 이 $n$의 값은 오늘 전혀 중요하지 않다. $F \subseteq 2^{[n]}$이 그래프의 정점 집합이 된다. 색은 이 정점 위에 칠할 것이다. $A, B \in F$에 대해 $A \cap B = \emptyset$이면 $A, B$ 사이에 간선을 잇는다....

$[n] = \set{1, \cdots, n}$과 $2 \le 2k \le n$에 대해, Kneser graph $\mar{KG}(n, k)$는 $\binom{[n]}{k}$를 정점 집합으로 하고, $S \cap S’ = \emptyset$인 모든 $S, S’$에 대해 간선을 이어준 그래프로 정의된다. Lovasz-Kneser Theorem (Kneser’s conjecture)란 이 그래프의 chromatic number $\chi(\mar{KG}(n, k)) \ge n - 2k + 2$가 성립한다는 정리이다. 이 글에서는 Tucker’s lemma를 이용한 J. Matousek의 증명을 소개한다. ...